Pitkä matematiikka 2007/kevät

Eilen päivällä kävin lainaamassa kirjastosta kaksi kirjaa: Pyramidi-kirjasarjan kertauskirjan ja Ylioppilastehtävät ratkaisuineen -kirjan. "Tosi ajoissa."
 
Luin kirjoja kello 23:een asti ja laskin vanhoja ylioppilaskokeen tehtäviä. Silloin vakuutuin siitä, että olen valmistautunut todella huonosti ja osaan vain pari–muutaman perustehtävän verran. En jäänyt kuitenkaan murehtimaan asiaa, vaan nukahdin melko nopeasti ja nukuin hyvin.
 
Olinkin hyvin ihmeissäni, kun tehtävät lähtivät tänään niin hyvin sujumaan. Itse asiassa sain loppujen lopuksi yhdeksän tehtävää tehtyä hyvin (kymmeneen sai vastata) ja yhtä aloitin. Helsingin Sanomien kotisivuilla tarjotaan peräti ratkaisuja, enkä nyt ainakaan suoralta kädeltä havainnut tehneeni virheitä! (Paitsi saatoin tehtävässä 3b antaa yhden desimaalin liian vähän.)
 
1. a) Ratkaise yhtälö 7x2-6x=0.
b) Ratkaise epäyhtälö |3x-2|<4.
c) Sievennä lauseke [kolmas juuri](a√a).
Perustehtäviä, kuten yleensäkin kokeen alussa. Tein c)-kohdan muuttamalla juurilausekkeet potensseiksi ja yhdistelemällä niitä: (a*a½)1/3.
 
2. a) Laske integraali 0½(1+2x2)dx.
b) Määritä funktion f(x)=√(x2+1) ferivaatta f'(1).
c) Sievennä lauseke e2lnx-2x2.
Tavallista määrättyä integraalia ja derivointia. c)-kohdassa itselleni oli helpoin tapa muistaa logaritmin määritelmä; lnx on se luku, johon e on korotettava, jotta saadaan x. En sitten perustellut mitenkään, miksi sain e2lnx:stä johdettua x2:n. Toivottavasti perustelua ei kaivata.
 
3. a) Merivettä, jossa on 4,0 painoprosenttia suolaa, hailidutetani altaassa, kunnes sen massa on vähentynyt 28 %. .Mikä on suolapitoisuus haihduttamisen jälkeen? Anna vastaus prosentin kymmenesisan tarkkuudella.
b) Mikä on vuotuinen korkoprosentti jos tilile talletettu rahamäärä kasvaa korkoa korolle 1.5-kertaiseksi 10 vuodessa? Lähdeveroa ei oteta huomioon, Anna vascaus prosentin sadasosan tarkkuudella. (Älä ihmettele kieliasua; HS.fi:n PDF-tiedosto on niin huonolaatuinen, ettei Document Imaging osaa lukea sitä kunnolla.)
a) Alussa merivettä 100a, siitä vettä 96a ja suolaa 4a. Lopussa merivettä 72a, suolaa 4a, joten suolaprosentti on 4a/(72a)≈5,6%. b) Luin joskus viikkoja sitten matematiikan kirjoista tietoa "koron korosta", mutta enhän minä mitään muistanut. Onneksi MAOL:issa on kätevä kaava, josta tiedon saa ihan noin vain mitään ymmärtämättä. Kun yhtälöni oli muodossa 1,5=(1+p/100)10, tajusin onneksi merkitä 1+p/100=x, jolloin x on kymmenes juuri 1,5:stä.
 
4. Määrit jokin pisteiden A (2,3,6) ja B = (4, —7—3) kautta kulkevan suoran suuntavektori ja muodosta suoran parametriesitys Määritä suoran xy-tason oik leikkauspiste.
Suuntavektorista ei ollut mitään MAOL-taulukoissa, mutta arvasin sanamuodosta ("määritä jokin suuntavektori"), että se on mikä vain samansuuntainen vektori. Niinpä määritin kantavektoriesityksellä vektorin pisteestä A pisteeseen B. Parametrimuodostakaan en tiennyt mitään, mutta MAOL:issa kerrottiin kätevästi, minkä muotoinen se on. Muistin, että siinä t on mikä vain reaaliluku. Pisteen A ja suuntavektorin avulla onnistuin jotenkin muodostamaan parametrimuodon. Testasin vielä, että se toimii. xy-tason leikkauspiste saatiin sijoittamalla z:n paikalle parametrimuotoon nolla, ja siitä ratkomalla t:n ja sijoittamalla x- ja y-kohtiin. Onneksi tehtävänanto oli niin johdatteleva!
 
5. Laske suorien x*y=1x+v=6.x—3y=l ja x—3q=—4vähin jäävän alueen pinta-ala.
Kun rupesin laskemaan suorien leikkauspisteitä, mietin samalla, olisiko helpompaa keinoa olemassa. En keksinyt, joten lasku vei melkein 3 sivua tilaa. Vastaus taisi olla oikein. Suorat muodostivat suunnikkaan, jonka kanta oli jokin suunnikkaan sivun muodostama jana ja korkeus saatiin "pisteen etäisyys suorasta" -kaavalla.
 
6. Ratkaise epäyhtälö (xx+7x+2)/(x-3)>1.
Tämän laskun ratkaisin siirtämällä ykkösen vasemmalle ja laventamalla sen samannimiseksi murtolausekkeen kanssa ja yhdistämällä ne. Sitten hain erikseen osoittajan ja nimittäjän nollakohdat ja merkit.
 
7. Suoran ympyräpo aisen kartion sisä asetetaan tilavuudeltaan suurin mahdollinen suora vnipyräpohjainen lieriö. jonka d.k on kartion ,X ,0 to on kartion pohjalla ja toi kehä koskettaa kartion vaippaa- Kartion korkeus on 6 pituijsyksikköä ja pohjan säde O r lieriön korkeus
Tässä sen näkee, että jopa viime hetken lukemisesta voi olla hyötyä! Luin eilisiltana kaksi sellaista yo-tehtävää ratkaisuineen, jotka olivat tämäntapaisia. Niinpä osasin muodostaa tilavuuden funktion ja sen derivaatan (h:n suhteen) nollakohdista sain vastauksen: tilavuus on suurimmillaan, kun h=2.
 

9. Laske kujution avaruusHvistajaa .4G ja sivLItn}]koTl I täjän AG suuntien välinen kulma 0,1 asteen twkkuudella. Laske edelleen avaruuslävistäjän AC ja sivutahkon lävistäjän BD suuntien välinen kulma.

Tein tehtävän vektoreilla ja käytin "vektorien välinen kulma" -kaavaa MAOLista. Siihen kuului pistetulo, jota en ulkoa osannut, mutta onneksi pystyin MAOLista päättelemään, miten pistetulo lasketaan kantavektoriesityksestä. Ihan oikeat vastauksetkin tuli!

 
10. Jonon a(n) termit ovat muotoa a(n)=(2n-2)/(n+1), n=1, 2, 3 … Osoita, että kaikille termeille pätee a(n)<2 ja a(n+1)>a(n). Määritä raja-arvo lim n->∞ a(n).
Yritin ensin todistella induktiolla, mutta sitten huomasin, että väitteistä tehdyt epäyhtälöt voitiin saattaa muotoon, jossa toisella puolella on murtolauseke, jonka nimittäjässä on n+(luku) (eli jotain positiivista) ja osoittajassa joku negatiivinen (ja kakkostapauksessa positiivinen) luku. Toisella puolella epäyhtälöä oli nolla. Tästä epäyhtälöstä oli helppo osoittaa, että sen on pakko olla tosi. Raja-arvon määrittäminen oli aivan normaalia, supistettiin vain n:llä murtolauseke.
 
15. b) Osoita, etta jos suarakulmaisdlla kolmiolla ja neliöllä on sama pinta-ala, niin kolmion piiri on pidempi kuin neliön piiri. (6 pistettä)
Tästä tehtävästä voi tulla joku säälipiste, koska viimeisten 15 minuutin aikana muodostin yhtälön ja epäyhtälön aloista ja piireistä (ja piirsin muuten kuvankin). Lähdin tekemään tehtävää samalla tavalla kuin Helsingin Sanomain mallivastauksessa on lähdetty tekemään. a)-kohtaa en ehtinyt yrittääkään.
 
Kaverit: TrakTori* lähti hyvin aikaisin, Jokke* vasta kello 15 kuten minäkin. TrakTori sanoi, että saattaa hyvinkin käydä, ettei hän pääse läpi! Siitä yllätyin.
 
Advertisements

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Google+ photo

Olet kommentoimassa Google+ -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s

%d bloggers like this: